IL PARADOSSO DI ZENONE
di Matteo Reale
1. ESSERE O NON ESSERE
L'approccio con la filosofia di ogni malcapitato studente liceale è stato senza dubbio traumatico: tutto bene finché si studiavano l'origine della filosofia e i Presocratici ionici (Talete, Eraclito). Le difficoltà iniziavano però immediatamente dopo, con la filosofia eleatica di Parmenide e Zenone. La cosmologia si trasformava in ontologia (filosofia dell'essere) e Parmenide, alquanto lapalissianamente, poteva concludere: "Una sola cosa resta al discorso, che l'Essere è". Tutti noi eravamo già arrivati da tempo a questa conclusione, e senza occuparci di filosofia.
In seguito analisi piuttosto approfondite ci hanno permesso di capire come, invece, il porre Essere e Non essere (ricorda l'Amleto!) al centro della speculazione poneva le basi non solo dello studio di ciò che è (noi stessi, il mondo, la vita esistono), ma anche del moderno ragionamento logico e filosofico. Parmenide formulava per la prima volta il principio di non contraddizione: se c'è l'Essere non può esserci il Non essere (A o non A). L'Essere è quindi ingenerato, perché se fosse generato nascerebbe da altro da sé, cioè dal Non essere, ma ciò sarebbe impossibile; è immobile, immutabile, perfetto. E' poi tutto uguale, non separato, un continuo inteso in senso geometrico.
Primo intervallo. Spiega Giorgio de Santillana nel suo "Prologo a Parmenide" (in "Fato antico e fato moderno", 1985): "L'argomentazione (...) è che la presenza di interruzioni nello spazio ne distrugge l'omogeneità (...). Ci vorrebbe per completezza il procedimento di Zenone; ma anche così è molto convincente." E più avanti: "Quando troviamo che Parmenide ripete e sottolinea che il suo Essere soddisfa le tre condizioni (continuità, omogeneità, isotropia, ndr.) concludiamo che ciò che egli aveva in realtà in mente era lo spazio del matematico (e del fisico)."
2. ZENONE SEGUACE DI PARMENIDE
A questo punto è opportuno che ci imbattiamo in quel genio di Zenone di Elea, allievo di Parmenide, che intendeva difendere a spada tratta il maestro contro le obiezioni delle scuole avverse. Per fare questo inventava uno degli esempi argomentativi apparentemente più incomprensibili che la storia della filosofia ricordi: Achille non supererà mai la tartaruga! Egli prendeva come concorrenti di una ipotetica gara di corsa l'animale più lento e l'uomo più veloce, il personaggio dell'Iliade Achille, soprannominato appunto "pié veloce".
L'argomentazione era questa: se diamo alla tartaruga anche un piccolo vantaggio, Achille non potrà mai non solo superarla, ma neanche raggiungerla. La spiegazione di un'affermazione così paradossale non è poi difficile. Infatti per ogni tratto che Achille potrà percorrere, in quello stesso lasso di tempo la tartaruga ne farà un altro, seppure brevissimo, e lascerà un altro spazio tra sé e l'antagonista. Poiché lo spazio è formato da infiniti punti, Achille dovrà correre all'infinito e ancora non prenderà l'animale: alla distanza di partenza si aggiungerà una distanza sempre minore (ma formata di infiniti punti) che non si ridurrà mai a zero. Questa dimostrazione lasciava i poveri mortali che si avvicinavano alla filosofia del tutto basiti.
Per spiegare l'arguzia di Zenone si deve tener presente che egli intendeva difendere l'immobilità dell'Essere parmenideo e quindi la non esistenza concettuale e ontologica del movimento, che a tale immobilità si oppone. Gli attacchi provenivano dagli adepti della scuola pitagorica, secondo cui la sostanza delle cose è il numero e la molteplicità, il moto, il cambiamento ne sono aspetti necessari. Ma anche Eraclito sosteneva che tutto è in divenire (panta rei). Così Zenone, al di là del suo intento provocatorio e spiazzante come quello di un maestro zen, al di là delle intuizioni matematiche, fondò il metodo della dialettica operando delle dimostrazioni per assurdo. Egli mostrava come le conseguenze derivanti dagli argomenti usati per confutare Parmenide erano assurde e contraddittorie. Così se il moto davvero esistesse e Achille davvero si spostasse nello spazio non sarebbe in grado di competere con una tartaruga.
Secondo intervallo. Scrive l'epistemologo francese Pierre-Maurice Duhem ne "La teoria fisica" (1906): "Per dimostrare che una proposizione è vera, è sufficiente spingere a una conseguenza assurda chi ammettesse la proposizione contraria a quella; è noto quale vantaggio i geometri greci abbiano tratto da questo modo di dimostrazione".
3. CANTOR RISOLVE IL PARADOSSO
Il paradosso zenoniano affascinò già gli antichi: Aristotele lo analizzò e cercò di risolverlo. Distinse tra un piano reale, che tiene conto di ciò che si verifica tutti i giorni e secondo il quale Achille vince la gara, e un piano mentale, che prevede la divisione dello spazio all'infinito. Per lui questo secondo piano poteva essere solo mentale perché l'infinito non esiste in atto ma è puramente potenziale e mai lo potremo sperimentare nella nostra realtà. Così anche lo spazio che viene percorso durante la gara è senza dubbio finito. Tuttavia la sfasatura tra piano logico-matematico e fisico non fu risolta da Aristotele e rimane ancora ai nostri giorni, poiché la divisibilità all'infinito è un'ipotesi matematicamente legittima.
Terzo intervallo. Nei suoi Principi di matematica (1903) il filosofo inglese Bertrand Russell lodò Zenone per avere messo in luce un problema autentico e per avere posto la base del calcolo infinitesimale. Secondo lo stesso filosofo ("Un recente contributo alla filosofia della matematica", 1901) fu il logico tedesco Cantor, famoso per la teoria degli insiemi, a risolvere il paradosso.
Alla fine del secolo scorso Cantor studiò i numeri infiniti (li chiamò transfiniti) e le operazioni con essi e fece delle scoperte sorprendenti. Notò per esempio che, contrariamente al senso comune, i numeri naturali (come 1,2,3 ecc.) non sono più numerosi dei numeri pari o dispari che sono contenuti al loro interno. Non vi sembra possibile? Prendiamo per ogni numero naturale un numero pari, per esempio, cioè mettiamoli in corrispondenza biunivoca.
1, 2, 3, 4, 5, 6, ad infinitum
2, 4, 6, 8,10,12, ad infinitum
Vediamo perciò come a ogni numero naturale corrisponda sempre un numero pari, all'infinito. Cantor ci ha fatto scoprire, così, come un numero infinito sommato a un altro numero infinito (pensate ai numeri pari più i numeri dispari) non dia origine a un numero più grande (i numeri naturali), perché siamo nello strano campo dell'infinito. Cantor ha scardinato il concetto aristotelico di "infinito potenziale" e ha introdotto "l'infinito in atto", su cui è possibile operare e che ha modificato la nostra stessa percezione di quel concetto. Ora lo possiamo studiare nell'ambito della fisica (l'infinitamente grande dell'Universo) e della metafisica (l'infinità di Dio non è più impensabile e incommensurabile).
Questa scoperta, dice Russell nell'articolo sopra citato, permise al logico tedesco di confutare per la prima volta matematicamente il nostro Zenone di Elea. Infatti questi, nel famoso paradosso, afferma che Achille non può raggiungere la tartaruga perché allo spazio, infinito, che li separa l'animale aggiunge dell'altro spazio infinito e l'insieme, si sa, è maggiore della parte. Ma non è così nel campo dei numeri infiniti, come abbiamo visto dall'esempio dei numeri naturali: perciò infinito più infinito non è uguale a un numero superiore ma uguale a se stesso. Achille, ormai senza fiato dopo 2300 anni di corsa estenuante, raggiunge la tartaruga e finalmente la supera.
Quarto intervallo. Lo scrittore guatemalteco Augusto Monterroso racconta questa gara singolare in "La Tartaruga e Achille", tratto dal suo libro "La pecora nera e altre favole" (Sellerio, 1992):
"Finalmente, la settimana scorsa, secondo cablogramma, la Tartaruga è arrivata alla meta.
Alla stampa ha dichiarato modestamente di avere avuto sempre paura di perdere, poiché il suo contendente le aveva pestato i talloni per tutto il tempo.
In effetti, un decimillesimoditrilionesimo di secondo dopo, come una freccia e maledicendo Zenone di Elea, arrivò Achille".